Здравствуйте, простите, что не отвечала долго, у самой ребёнок заболел, было не до консультаций.
По порядку. Да, рвота часто сопровождает этот процесс, к сожалению

Из-за выделения густой вязкой стекловидной мокроты и из-за того, что рвотный и дыхательный центры находятся в головном мозге ребёнка рядом и активация одного возбуждает второй.
Как облегчить состояние во время приступа? Прежде всего создать спокойную (без паники) обстановку с неярким светом(т.е. окна не подходят - свет бьёт в глаза). Дать поступать свежему воздуху в дом. Исключить всякие утяжеляющие моменты - табачный дым, запахи и т.п. Ночью желательно спать с приподнятым головным концом. Ингаляции кислорода, конечно, можно проводить, но как правило этого требует тяжёлое течение коклюша у грудных детей. Но если уж хочется потратить деньги, то в такую жару, мне кажется, лучше закупить домой хорошее климатическое оборудование, помогающее поддерживать достаточный по температуре и влажности воздух. И вообще с детьми сейчас надо как можно больше гулять - выбирать какую-то парковую зону с тенистыми участками и бесконечно гулять там. Да, с учётом рвоты, не забывайте выпаивать ребёнка.
К сожалению, когда уже начался период судорожного кашля, антибиотик не уменьшит количество приступов, а только сделает ребёнка незаразным для окружающих. Как правило, период самых тяжёлых приступов длится 4 недели, а дальше идёт на спад, но вообще кашель может продолжаться до полугода даже. ОРЗ и различные стрессы его провоцируют.
Наблюдаться у очных врачей обязательно надо, чтобы исключать такие осложнения, как коклюшная пневмония и др. Госпитализация показана в тяжёлых случаях, когда может пригодится внутривенное вливание жидкостей, ИВЛ и т.п. В средне-тяжёлых и лёгких случаях, на мой взгляд, госпитализация даже вредна - ребёнку придётся лежать в изолированной палате, где ещё не всякая мамочка-соседка разрешит форточку открыть.
И по поводу диагностики: к сожалению, в мазке не 100%-но выделяются бактерии на таком сроке болезни. Можно сдать ИФА крови на IgM и IgG, либо серологическое исследование парных сывороток на рост титра антител.