Кашель у ребенка, нужен ли антибиотик

[Krasa2lka]

Добрый вечер. Ребенок 11 месяцев, вес 11 кг.
В ночь на 1.04 у ребенка поднялась температура 38,4, появились зеленые сопли, к
3.04 температура нормализовалась,
4.04 к вечеру опять поднялась температура 38,5 не сбивалась, держалась три дня, затем медленно возвращалась к норме, и только
10.04 стала 36.8.
7.04 начала появляться сыпь с головы и опускаться по телу вниз, сейчас сыпь не такая яркая, на голове и верхней части тела почти прошла, остались ручки и ножки. Сопли были как вода, прозрачные,
8.04 появился редкий влажный кашель
На данный момент кашель влажный один два раза в час, но продолжительный, за ночь кашляет 1-2 раза, может проснуться от него.
Ребенок активный, но после болезни не хочет есть прикорм, только грудь и компот.
анализ крови на 11.04
палочкоядерные н. 3
сегментоядерные н.51
моноциты 6
эозинофилы 1
лимфоциты 39
лейкоциты 9,5
эритроциты 4014
гемоглобин 109
тромбоциты 341

Легкие при прослушивании чистые. Горло не красное, Незначительно текут сопли.Сейчас режутся нижние 2 резца.
Педиатр назначает антибиотик, амоксиклав, нужен ли он?
Какая есть альтернатива антибиотику?